0以上の多項式の話

2025年5月19日

富山本部校高校部

xの多項式

x⁴+2x³+4x²+4x+2

がすべての実数xで負の値をとらないことを示せと言われたら、大抵の人は微分すると思います。

もちろんそれでいいのですが、実は

x⁴+2x³+4x²+4x+2

=(x²+x+1)²+(x+1)²

と変形すれば、微分しなくても0以上だとわかります。

では、負の値をとらない実数係数の多項式は、いつでもこのように2つの平方式の和で書けるのでしょうか。

このような多項式P(x)を任意にとり、次数をnとします。

このP(x)は複素数の範囲で1次式の積に因数分解できます。

P(x)=A(x-α₁)(x-α₂)…(x-α_n)

Aは最高次の係数で、当然実数です（あとで考えればわかりますがAは0以上です）。

α₁からα_nは複素数です。

実数係数なので、P(x)=0の虚数解は必ず共役なものがペアで現れます。

そのペアたちを

(x-(a+bi))(x-(a-bi))=(x-a)²+b²

のようにし、有名な恒等式

(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)²

でまとめていきます。

実数解をもつ場合、P(x)が0以上であることから偶数個の重解になるので、因数分解の中の対応する部分は1つの平方式になります。

以上のようにしてうまくまとめれば、最終的に2つの平方式の和になります。

富山本部校高校部の校舎ブログ一覧を見る