集合

2026年1月19日

富山本部校高校部

数学では「集合」というものを扱います。

大抵は「何かしら数学的な対象を集めたもの」くらいに説明されます。

なんとも曖昧ですね。

普通はこの程度の認識で良いのですが、困る場合もあります。

以下のような集合を考えてみましょう。

X = { x | x ∉ x }

無理やり日本語にすると「自身を要素として含まないような集合全体の集合」ということですね。

では、この X は自身を要素として含むのでしょうか。

X ∈ X とすると、X の条件から X ∉ X となり矛盾します。

X ∉ X とすると、やはりX の条件から X ∈ X となり矛盾します。

X ∈ X としても X ∉ X としても矛盾してしまいました。

数学という学問は非常に厳密なものだと誰もが思っているでしょうが、最近までわりと曖昧なものでした。

上のようなことが色々提唱されるようになり、「もしかして集合というものを数学的にきちんと定義しないといけないのでは？」と数学者が思い始めたのもたった100年ほど前のことです。

現代数学ではこのあたりのことがきちんと整備され、上のような矛盾も回避できるようになっています（現在普通に使われている定義では上の X はそもそも集合とは認められていません）。

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