問題1　最大値は存在する？

関数　y=x(0<x<1)　について考えます。

この関数は、x が1に近づくほど y も1に近づいていきます。

では、この関数には最大値が存在するでしょうか。

「最大値が存在する」なら、その値はいくつでしょうか。

 

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問題2　√3はどこにある？

次に、曲線　y=x^2−3　とx軸との交点を考えます。

x軸上では y=0 なので、

x^2−3=0 より、x=√3　となります。

したがって、交点は　(√3,0)

です。

ここで、ちょっと不思議なことに気づきます。

√3=1.7320508⋯

です。

例えば、

• 1.7 を指しても違う。

• 1.73 を指しても違う。

• 1.732 を指しても違う。

• 1.73205 を指しても違う。

どこまで数字を書いても、まだ続きがあります。

では、

「√3の位置を正確に指さすことができないなら、√3 という点は本当に存在するのでしょうか？」

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解答・解説

 

問題1の答   最大値は存在しません。

なぜでしょうか。

例えば、x=0.9 なら y=0.9 です。

しかし、x=0.99 とすれば、

y=0.99 となり、さらに大きくなります。

また、

0.999,  0.9999,  0.99999,…

と、どこまでも1に近づくことができます。

ところが、x=1 は条件 0<x<1 に含まれていません。したがって、

どの値を「最大値」として選んでも、それより大きな値が存在する。

だから最大値は存在しません。

 

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問題2の答 √3 は、ちゃんと存在します。

ここが今回の一番大切なポイントです。

確かに、 √3=1.7320508075⋯ と小数で表すと、数字は永遠に続きます。

そのため、

「1.7を指しても違う」

「1.73を指しても違う」

「1.732を指しても違う」

となります。

しかし、

「小数で最後まで書けない」ことと、「その数が存在しない」ことは別です。

√3 という数は、

(√3)^2=3

を満たす正の実数として、ただ1つに決まっています。

だから、√3 の位置も数学的にはきちんと決まっています。

 

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「指させない」と「存在しない」は違う！

ここをしっかり区別しましょう。

例えば、

1.7,1.73,1.732,1.73205,…

と小数を使って位置を示していくと、いつまで経っても完全には一致しません。

でも、√3　という記号を使えば、その数を正確に指定できます。

つまり、

√3は「指で正確に指し続けることができない点」ではあっても、「存在しない点」ではありません。

 

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最大値の問題との違い

ここで、問題1と問題2を比べてみましょう。

問題1

y=x(0<x<1)

では、1に近づくことはできます。

しかし、x=1 は範囲に含まれていません。だから最大値はありません。

問題2

y=x^2−3

では、x=√3 という数がちゃんと存在します。

そして、(√3)2−3=0 が正確に成り立ちます。

だから、(√3,0)  という交点もちゃんと存在します。

 

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まとめ

 

今回のポイントは次の3つです。

1. 「どこまでも近づける」ことと「その値をとる」ことは違う。

2. 小数が無限に続くからといって、その数が存在しないわけではない。

3. 「正確に指で指せない」ことと「数学的に存在しない」ことは別。

√3 は小数では最後まで書けないが、数学的には完全に決まった数である

「√3はどこにあるの？」という素朴な疑問から、実は無理数・実数・極限という数学の重要な考え方につながっていきます。

「無限に続くのに、なぜ1つの数として存在できるの？」

ここまで考えられると、数学の見え方が少し変わってきます。